Pulire le patate sotto l’acqua corrente, senza sbucciarle, e fatele bollire per circa 25 minuti. Controllate le patate per evitare che si aprano durante la cottura, cosa che comprometterebbe la buona riuscita degli gnocchi. Una volta cotte, sbucciatele e passatele in uno schiacciapatate. Trasferitele su una spianatoia, dove aggiungerete il burro, la farina e il sale. Impastate il tutto fino a ottenere un panetto liscio: l’impasto sarà pronto quando questo non tenderà più ad attaccarsi al piano da lavoro. In caso contrario, unite altra farina. Quando la pasta sarà pronta, dividetela in piccole porzioni, che stenderete in filoncini spessi circa 1,5 cm. Tagliateli a pezzetti lunghi circa 2 cm, poi formate gli gnocchi facendoli rotolare sui denti di una forchetta o utilizzando l’apposito strumento. Una volta pronti, copriteli con un panno da cucina. Portate quindi a bollore dell’acqua salata e nel frattempo preparate la salsa: fate sciogliere in una padella il burro, unite la farina fuori dal fuoco e mescolate velocemente in modo da non creare grumi. Aggiungete il latte poco alla volta e rimettete sul fuoco. Fate addensare, poi unite il parmigiano. Lavate il basilico e tritatelo grossolanamente, tenendo alcune foglie intere da parte. Cuocete gli gnocchi: saranno pronti quando verranno a galla. Scolateli e tuffateli nella salsa al parmigiano. Amalgamateli bene, aggiungete il basilico, guarnite a piacere e servite.